109地方特考三等衛生行政.衛生技術_生物統計學考古試題詳解

題目一 (請直接點選題目觀看答案)
衛生福利部國民健康署對體位的分類如下表：

成人肥胖定義	身體質量指數（BMI）（kg/$m^2$）
體重過輕	BMI<18.5
健康體位	18.5<=BMI<24
過重	24<=BMI<27
肥胖	27 <= BMI

若已知某地區成人身體質量指數服從常態分布，平均值為23 kg/m2，標準差為4。
請算出成人身體質量指數的四分位差，及體重過輕、過重與肥胖的比例。再者，若隨機抽取36位文書工作者測量其體位，得到其平均BMI 值為26，請計算文書工作者BMI 平均值的95%信賴區間。（25分）
（註：Φ(0.25)=0.60, Φ(0.674)=0.75, Φ(0.75)=0.77, Φ(0.95)=0.829, Φ(0.975)=0.835,
Φ(1)=0.841, Φ(1.125)=0.87, Φ(1.645)=0.95, Φ(1.96)=0.975其中Φ為常態分布累積分布函數）

擬答

《考題難易》★★
《破題關鍵》雖然常態分配的機率求解並不困難，但因為常態分配四分位數需要透過反查表才能得知，過去未曾命題，而且過去亦沒有將常態分配查表值用累積分配機率的呈現方式，這是這題主要難度所在，可參考王瑋/生物統計學P.3-19頁類似範例。而此題的出與，與108年地特三等如出一轍。

假設 $X$ 代表某地區成人身體質量指數
$ X $~$ N (\mu=23,\sigma^2=4^2)$

$ P(X \le Q_1 )=0.25$
$\begin{align} & \Rightarrow P(Z \le \frac{Q_1 - 23}{4})=0.25 \\ & \Rightarrow \frac{Q_1 -23}{4}=-0.674 \\ & \Rightarrow Q_1=20.304 \end{align}$

$P(X \le Q_3 )=0.75 $
$\begin{align} & \Rightarrow P(Z \le \frac{Q_3 -23}{4})=0.75 \\ & \Rightarrow \frac{Q_1 -23}{4}=0.674 \\ & \Rightarrow Q_3 =25.696 \end{align}$

四分位差
$\begin{align} QD & = \frac{Q_3 - Q_1}{2} \\ & =\frac{25.696-20.304}{2} \\ & = 2.696 \end{align}$
體重過輕(BMI<18.5)比例
$\begin{align} & P(X < 18.5) \\ & = P(Z > \frac {18.5-23}{4}) \\ & = P(Z > 1.125) \\ & = 1-0.87 \\ & = 0.13 \end{align}$

體重過重(24<=BMI<27)比例
$\begin{align} & P(24 < X < 27)\\ & = P(\frac{24-23}{4} < Z < \frac{27-23}{4}) \\ & = P(0.25 < Z < 1) \\ & = 0.841 - 0.6 \\ & = 0.241 \end{align}$

體重肥胖(27<=BMI)比例
$\begin{align} & P(X \ge 27)\\ & = P(Z \ge \frac{27-23}{4}) \\ & = P(Z > 1) \\ & = 1 - 0.841 \\ & = 0.159 \end{align}$
文書工作者BMI平均值的95%信賴區間為
$\begin{align} & \bar{X} \pm Z_{0.025} \frac \sigma{\sqrt{n}} \\ & \Rightarrow 26 \pm 1.96．\frac{4}{\sqrt{36}} \\ & \Rightarrow \left[ 24.6933,27.3067 \right] \end{align}$

題目二
某研究欲評估兩種新冠肺炎疫苗（廠牌A 與B）對於接種者是否可產生有效中和抗體。該研究遂進行隨機臨床分派平行試驗並且以接種者產生之中和抗體效價數值（Geometric mean titer, GMT），作為疫苗抗原反應之主要評估指標，結果如下：

	受試者人數	GMT 平均值	GMT 標準差
廠牌A	32	180.1	20
廠牌B	32	190.0	20

請應用統計檢定方法評估兩廠牌疫苗接種後之免疫反應是否有所不同，並寫出三個該檢定方法需遵循的重要假設（Assumptions）以及評論本研究是否符合。（25分）[型一誤差 $\alpha=0.05$]
註1：需寫出假說檢定步驟及統計檢定結論的依據。
註2：$Z_{0.95}$=1.645, $Z_{0.975}$=1.96,
$t_{0.95}$, 1=6.31, $t_{0.95}$, 2=2.92, $t_{0.95}$, 30=1.697, $t_{0.95}$, 32=1.694, $t_{0.95}$, 60=1.671, $t_{0.95}$, 62=1.670,$t_{0.975}$, 1=12.71, $t_{0.975}$, 2=4.30, $t_{0.975}$, 30=2.042, $t_{0.975}$, 32=2.037, $t_{0.975}$, 60=2.0, $t_{0.975}$, 62=1.998）

擬答

《考題難易》★★
《破題關鍵》獨立樣本t檢定是課內基本問題，本題不需檢定變異數是否相等，因為樣本標準差已相同，多個年度皆有類似考題，如108年地特三等與四等皆有命題，王瑋/生物統計學P.5-33與P.5-34頁有完全相同範例。除此之外，獨立樣本t檢定的前題假設亦屬常見命題，如100年薦任衛技，王瑋/生物統計學P.5-35頁有完全相同範例。

假設廠牌A之GMT為X，廠牌B之GMT為Y
$H_0: \mu _x = \mu _y$
$H_1: \mu _x \ne \mu _y$
$\alpha=0.05$
$\begin{align} s^2_p & = \frac{(n-1)s^2_x +(m-1)s^2_y}{n + m - 2} \\ & \\ & = \frac {31 \times 20^2 + 31 \times 20^2}{32+32-2}\\ & \\ & =400 \end{align} $

$\begin{align} T^* & = \frac{\bar{X} - \bar{Y} } { \sqrt{s^2_p \left( \frac{1}{n}+ \frac{1}{m} \right)}} \\ & = \frac {180.1-190}{ \sqrt{400 \left( \frac{1}{32} + \frac{1}{32}\right)}} \\ & = -1.98 \notin C \end{align} $
C:{|$T^*$|>$t_{0.975}$(32)=2.037}

不拒絕$H_0$ ，沒有顯著的證據說
兩廠牌疫苗接種後之免疫反應有不同
獨立樣本t檢定的前提假設為
1. 兩組資料來自常態分配
  本研究的資料是否為常態分配無法得知，可藉由卡方適合度檢定或Kolmogorov-Smirnov等檢定來確定是否符合常態分配。
2. 兩組資料母體變異數同質
  兩組樣本變異數相同，所以若進行變異數同質檢定必定不拒絕虛無假設，所以變異數同質符合。
3. 抽取出的樣本彼此之間獨立
  本研究是隨機臨床分派平行試驗，所以獨立性滿足。

題目三
校園線上課程在近年來逐漸成長，為了解家長與學生對線上課程的接受度是否有關，A 校針對該校100位學生進行問卷調查，並同時調查這100位學生的家長之接受度。假設同一個家庭內，家長與學生彼此間會互相影響。若將接受度分為高、低兩類，結果發現學生族群高接受度的占33%，家長的高接受度比例為25%，且100個家庭中家長和學生同時都顯示高接受度的有15%。
請將上述問題整理成列聯表，並提出適當統計檢定方法針對此資料進行假說檢定。[型一誤差 $\alpha=0.05$]（25分）
（註：需寫出假說檢定步驟及統計檢定結論的依據）

擬答

《考題難易》★★
《破題關鍵》McNemar檢定是課內基本問題，解題關鍵在於能否正確地寫出列聯表，類似有難度的考題如105普考衛政，王瑋/生物統計學P.7-24頁有完全相同範例。

將資料整理如下之配對樣本資料:

家長	學生
家長	高接受度	低接受度
高接受度	15	10	25
低接受度	18	57	75
	33	67	100

此為相依樣本，採用McNemar檢定
$H_0$ : 家長與學生對線上課程接受度無關　
$H_1$ : 家長與學生對線上課程接受度有關
$\alpha=0.05$
$\begin{align} X^{2^\ast} & = \frac{(|B-C|-1)^2}{B+C} \\ & \\ & = \frac{(|18-10|-1)^2}{18+10} \\ & \\ & = 1.75 \notin C \end{align} $

C:{$X^{2^*}$>$X^2_{0.05}$(1)=3.841}
不拒絕$H_0$，沒有顯著的證據說家長與學生對線上課程接受度有關

題目四
研究者為了提高病人照護的便利性，開發無線生物感測裝置，希望藉由脈波到達時間（pulse arrival time, PAT）的資料進行收縮壓（Systolic Blood Pressure, SBP）的量測，以30個樣本進行資料收集，得到以下結果：

變項	平均值	標準差
SBP	137	9.3
PAT	211	23.5

PAT 與SBP 的散布圖如下：

圖中的方程式為利用最小平方法所得到的簡單直線迴歸方程式的估計結果。
請估計PAT 與SBP 的相關係數及上述迴歸模式的決定係數，並進一步解釋兩者代表的意義，最後寫出此簡單直線迴歸分析的變異數分析表格（ANOVA Table）檢定PAT 與SBP 的關係是否具統計上顯著意義。（25分）
[型一誤差 $\alpha=0.05$]
（註1：需寫出假說檢定步驟及統計檢定結論的依據。
註2：$F_{(0.95, 1, 28)}$=4.196, $F_{(0.95, 29, 29)}$=1.861, $F_{(0.975, 1, 28)}$=5.61, $F_{(0.975, 29, 29)}$=2.101）

擬答

《考題難易》★★
《破題關鍵》給迴歸方程式反求相關係數與判定係數在108高考有類似考題，而且利用描述統計量來製作變異數分析表與檢定，103普考衛政有類似觀念的命題，可參考王瑋/生物統計學P.8-24頁的類似範例。

假設PAT為自變數X，SBP為應變數Y
相關係數
$r_{xy}= \hat{B_1} \frac{S_X}{S_Y}$ $=-0.275 \times \frac{23.5}{9.3}$ $=-0.6949$
代表脈搏到達時間(PAT)與收縮壓(SBP)為負的中度，也就是當PAT越大，SBP會越小。
決定係數為$R^2=r^2_{xy}$ $=(-0.6949)^2$ $=48.29\% $
代表以脈搏到達時間(PAT)預測收縮壓(SBP)，解釋度為48.29%

NOVA表如下所示：

變異來源	平方和	自由度	均方	F 值
迴歸模型	1211.1533	1	1211.1533	26.146
殘差	1297.0567	28	46.3235
總和	2508.21	29

$SSR = \hat{B^2_1}SS_X$ $=(-0.275)^2 \times (30-1) \times 23.5^2$ $=1211.1533$
$SSTO = SS_Y$ $=(30-1)\times 9.3^2$ $=2508.21$
$SSE = SSTO-SSR$ $=2508.21 - 1211.1533$ $=1297.0567$
$H_0 : B_1 =0$
$H_1 : B_1 \ne 0$
$\alpha=0.05$
$F^* = 26.146 \in C $
C : {$F^*$ > $F_{(0.95,1,28)}$=4.196}

拒絕 $H_0$，有顯著證據說PAT與SBP的關係具有統計上顯著意義。

台北志聖台北市館前路2號7樓	02-23755999
台中志聖台中市東區復興路四段76號	04-22200985
台南志聖台南市北區成功路10號	06-2281111
高雄志聖高雄市建國三路125號	07-2851919

申論題